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Aufgaben zu Gruppen

Aufgabe 1.9 zu Gruppen

Sei $n \in \mathbb{N}, n > 0$. Für $x, y \in \mathbb{Z}$ schreiben wir \[ x \equiv y \pmod{n} \iff n \text{ teilt } x - y. \]

(a)

Zeigen Sie, dass $\equiv \pmod{n}$ eine Äquivalenzrelation ist.

(b)

Wir betrachten nun die sogenannten Restklassen einer Zahl $k \in \mathbb{Z}$, definiert durch \[ [k]_n = k + n\mathbb{Z} = \{k + nz \mid z \in \mathbb{Z}\}. \] In einer solchen Restklasse liegen also alle Zahlen, die bei Division durch $n$ den gleichen Rest wie $k$ ergeben. Die Menge aller Restklassen schreibt man als $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.\\ Zeigen Sie $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n - 1]\}$.

(c)

Wir definieren Addition und Multiplikation von Restklassen mod $n$ durch \[ [a]_n + [b]_n := [a + b]_n, \] \[ [a]_n \cdot [b]_n := [a \cdot b]_n. \] Zeigen Sie, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind, dass sie assoziativ und kommutativ sind, und dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ eine abelsche Gruppe ist. Zeigen Sie, dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ im Allgemeinen keine Gruppe ist.

Beweis

(a)

i)

$x \equiv x \pmod{n}$ ist klar.

ii)

Seien $x, y \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$, dann gilt auch $y \equiv x \pmod{n}$.

iii)

Seien $x, y, z \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$ und $y \equiv z \pmod{n}$. Das heißt, $n \mid x - y$ und $n \mid y - z$. Dann gilt auch $n \mid ((x - y) + (y - z)) = x - z$, also $x \equiv z \pmod{n}$.

(b)

Die Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$ sind verschieden, weil $i \equiv j$ für $i \neq j$ und $i, j \in \{0, \ldots, n - 1\}$ nicht der Fall ist. Ist $m \in \mathbb{Z}$, so können wir $m$ mit Rest durch $n$ teilen, d.h. es gibt $k, r \in \mathbb{Z}$ mit $0 \leq r < n - 1$ so dass $m = kn + r$. Modulo $n$ gilt $[m]_n = [kn + r]_n = [r]_n$, d.h. $[m]_n$ ist einer der Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$.

(c)

Wir müssen zeigen, dass aus $a \equiv a'$ mod $n$ und $b \equiv b'$ mod $n$ folgt, dass $a + b \equiv a' + b'$ mod $n$ und $ab \equiv a'b'$ mod $n$. Die Voraussetzung bedeutet, dass es $k, l \in \mathbb{Z}$ gibt mit $a = a' + kn$ und $b = b' + ln$. Es folgt \[ a + b = a' + kn + b' + ln = a' + b' + (k + l)n \equiv a' + b' \pmod{n} \] und \[ ab = (a' + kn)(b' + ln) = a'b' + a'ln + b'kn + kln^2 \equiv a'b' \pmod{n}. \] Dies zeigt, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Assoziativität und Kommutativität folgen aus den entsprechenden Eigenschaften von $+$ und $\cdot$, z.B. \[ ([a]_n + [b]_n) + [c]_n = [a + b]_n + [c]_n = [(a + b) + c]_n = [a + (b + c)]_n = [a]_n + ([b]_n + [c]_n). \] Das neutrale Element von $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist $[0]_n$, denn \[ [a]_n + [0]_n = [a + 0]_n = [a]_n. \] Zu jedem $[a]_n \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ gilt \[ [a]_n + [-a]_n = [a - a]_n = [0]_n. \] $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist also eine abelsche Gruppe.\\ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ ist im Allgemeinen keine Gruppe, da z.B. für $a = 0$ das Inverse $a^{-1}$ nicht existiert.

Aufgabe 1.9 zu Gruppen

Sei $n \in \mathbb{N}, n > 0$. Für $x, y \in \mathbb{Z}$ schreiben wir \[ x \equiv y \pmod{n} \iff n \text{ teilt } x - y. \]

(a)

Zeigen Sie, dass $\equiv \pmod{n}$ eine Äquivalenzrelation ist.

(b)

Wir betrachten nun die sogenannten Restklassen einer Zahl $k \in \mathbb{Z}$, definiert durch \[ [k]_n = k + n\mathbb{Z} = \{k + nz \mid z \in \mathbb{Z}\}. \] In einer solchen Restklasse liegen also alle Zahlen, die bei Division durch $n$ den gleichen Rest wie $k$ ergeben. Die Menge aller Restklassen schreibt man als $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.\\ Zeigen Sie $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n - 1]\}$.

(c)

Wir definieren Addition und Multiplikation von Restklassen mod $n$ durch \[ [a]_n + [b]_n := [a + b]_n, \] \[ [a]_n \cdot [b]_n := [a \cdot b]_n. \] Zeigen Sie, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind, dass sie assoziativ und kommutativ sind, und dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ eine abelsche Gruppe ist. Zeigen Sie, dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ im Allgemeinen keine Gruppe ist.

Beweis

(a)

i)

$x \equiv x \pmod{n}$ ist klar.

ii)

Seien $x, y \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$, dann gilt auch $y \equiv x \pmod{n}$.

iii)

Seien $x, y, z \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$ und $y \equiv z \pmod{n}$. Das heißt, $n \mid x - y$ und $n \mid y - z$. Dann gilt auch $n \mid ((x - y) + (y - z)) = x - z$, also $x \equiv z \pmod{n}$.

(b)

Die Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$ sind verschieden, weil $i \equiv j$ für $i \neq j$ und $i, j \in \{0, \ldots, n - 1\}$ nicht der Fall ist. Ist $m \in \mathbb{Z}$, so können wir $m$ mit Rest durch $n$ teilen, d.h. es gibt $k, r \in \mathbb{Z}$ mit $0 \leq r < n - 1$ so dass $m = kn + r$. Modulo $n$ gilt $[m]_n = [kn + r]_n = [r]_n$, d.h. $[m]_n$ ist einer der Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$.

(c)

Wir müssen zeigen, dass aus $a \equiv a'$ mod $n$ und $b \equiv b'$ mod $n$ folgt, dass $a + b \equiv a' + b'$ mod $n$ und $ab \equiv a'b'$ mod $n$. Die Voraussetzung bedeutet, dass es $k, l \in \mathbb{Z}$ gibt mit $a = a' + kn$ und $b = b' + ln$. Es folgt \[ a + b = a' + kn + b' + ln = a' + b' + (k + l)n \equiv a' + b' \pmod{n} \] und \[ ab = (a' + kn)(b' + ln) = a'b' + a'ln + b'kn + kln^2 \equiv a'b' \pmod{n}. \] Dies zeigt, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Assoziativität und Kommutativität folgen aus den entsprechenden Eigenschaften von $+$ und $\cdot$, z.B. \[ ([a]_n + [b]_n) + [c]_n = [a + b]_n + [c]_n = [(a + b) + c]_n = [a + (b + c)]_n = [a]_n + ([b]_n + [c]_n). \] Das neutrale Element von $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist $[0]_n$, denn \[ [a]_n + [0]_n = [a + 0]_n = [a]_n. \] Zu jedem $[a]_n \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ gilt \[ [a]_n + [-a]_n = [a - a]_n = [0]_n. \] $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist also eine abelsche Gruppe.\\ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ ist im Allgemeinen keine Gruppe, da z.B. für $a = 0$ das Inverse $a^{-1}$ nicht existiert.

Aufgabe 1.9 zu Gruppen

Sei $n \in \mathbb{N}, n > 0$. Für $x, y \in \mathbb{Z}$ schreiben wir \[ x \equiv y \pmod{n} \iff n \text{ teilt } x - y. \]

(a)

Zeigen Sie, dass $\equiv \pmod{n}$ eine Äquivalenzrelation ist.

(b)

Wir betrachten nun die sogenannten Restklassen einer Zahl $k \in \mathbb{Z}$, definiert durch \[ [k]_n = k + n\mathbb{Z} = \{k + nz \mid z \in \mathbb{Z}\}. \] In einer solchen Restklasse liegen also alle Zahlen, die bei Division durch $n$ den gleichen Rest wie $k$ ergeben. Die Menge aller Restklassen schreibt man als $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.\\ Zeigen Sie $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n - 1]\}$.

(c)

Wir definieren Addition und Multiplikation von Restklassen mod $n$ durch \[ [a]_n + [b]_n := [a + b]_n, \] \[ [a]_n \cdot [b]_n := [a \cdot b]_n. \] Zeigen Sie, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind, dass sie assoziativ und kommutativ sind, und dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ eine abelsche Gruppe ist. Zeigen Sie, dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ im Allgemeinen keine Gruppe ist.

Beweis

(a)

i)

$x \equiv x \pmod{n}$ ist klar.

ii)

Seien $x, y \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$, dann gilt auch $y \equiv x \pmod{n}$.

iii)

Seien $x, y, z \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$ und $y \equiv z \pmod{n}$. Das heißt, $n \mid x - y$ und $n \mid y - z$. Dann gilt auch $n \mid ((x - y) + (y - z)) = x - z$, also $x \equiv z \pmod{n}$.

(b)

Die Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$ sind verschieden, weil $i \equiv j$ für $i \neq j$ und $i, j \in \{0, \ldots, n - 1\}$ nicht der Fall ist. Ist $m \in \mathbb{Z}$, so können wir $m$ mit Rest durch $n$ teilen, d.h. es gibt $k, r \in \mathbb{Z}$ mit $0 \leq r < n - 1$ so dass $m = kn + r$. Modulo $n$ gilt $[m]_n = [kn + r]_n = [r]_n$, d.h. $[m]_n$ ist einer der Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$.

(c)

Wir müssen zeigen, dass aus $a \equiv a'$ mod $n$ und $b \equiv b'$ mod $n$ folgt, dass $a + b \equiv a' + b'$ mod $n$ und $ab \equiv a'b'$ mod $n$. Die Voraussetzung bedeutet, dass es $k, l \in \mathbb{Z}$ gibt mit $a = a' + kn$ und $b = b' + ln$. Es folgt \[ a + b = a' + kn + b' + ln = a' + b' + (k + l)n \equiv a' + b' \pmod{n} \] und \[ ab = (a' + kn)(b' + ln) = a'b' + a'ln + b'kn + kln^2 \equiv a'b' \pmod{n}. \] Dies zeigt, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Assoziativität und Kommutativität folgen aus den entsprechenden Eigenschaften von $+$ und $\cdot$, z.B. \[ ([a]_n + [b]_n) + [c]_n = [a + b]_n + [c]_n = [(a + b) + c]_n = [a + (b + c)]_n = [a]_n + ([b]_n + [c]_n). \] Das neutrale Element von $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist $[0]_n$, denn \[ [a]_n + [0]_n = [a + 0]_n = [a]_n. \] Zu jedem $[a]_n \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ gilt \[ [a]_n + [-a]_n = [a - a]_n = [0]_n. \] $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist also eine abelsche Gruppe.\\ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ ist im Allgemeinen keine Gruppe, da z.B. für $a = 0$ das Inverse $a^{-1}$ nicht existiert.

Aufgabe 1.9 zu Gruppen

Sei $n \in \mathbb{N}, n > 0$. Für $x, y \in \mathbb{Z}$ schreiben wir \[ x \equiv y \pmod{n} \iff n \text{ teilt } x - y. \]

(a)

Zeigen Sie, dass $\equiv \pmod{n}$ eine Äquivalenzrelation ist.

(b)

Wir betrachten nun die sogenannten Restklassen einer Zahl $k \in \mathbb{Z}$, definiert durch \[ [k]_n = k + n\mathbb{Z} = \{k + nz \mid z \in \mathbb{Z}\}. \] In einer solchen Restklasse liegen also alle Zahlen, die bei Division durch $n$ den gleichen Rest wie $k$ ergeben. Die Menge aller Restklassen schreibt man als $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.\\ Zeigen Sie $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n - 1]\}$.

(c)

Wir definieren Addition und Multiplikation von Restklassen mod $n$ durch \[ [a]_n + [b]_n := [a + b]_n, \] \[ [a]_n \cdot [b]_n := [a \cdot b]_n. \] Zeigen Sie, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind, dass sie assoziativ und kommutativ sind, und dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ eine abelsche Gruppe ist. Zeigen Sie, dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ im Allgemeinen keine Gruppe ist.

Beweis

(a)

i)

$x \equiv x \pmod{n}$ ist klar.

ii)

Seien $x, y \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$, dann gilt auch $y \equiv x \pmod{n}$.

iii)

Seien $x, y, z \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$ und $y \equiv z \pmod{n}$. Das heißt, $n \mid x - y$ und $n \mid y - z$. Dann gilt auch $n \mid ((x - y) + (y - z)) = x - z$, also $x \equiv z \pmod{n}$.

(b)

Die Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$ sind verschieden, weil $i \equiv j$ für $i \neq j$ und $i, j \in \{0, \ldots, n - 1\}$ nicht der Fall ist. Ist $m \in \mathbb{Z}$, so können wir $m$ mit Rest durch $n$ teilen, d.h. es gibt $k, r \in \mathbb{Z}$ mit $0 \leq r < n - 1$ so dass $m = kn + r$. Modulo $n$ gilt $[m]_n = [kn + r]_n = [r]_n$, d.h. $[m]_n$ ist einer der Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$.

(c)

Wir müssen zeigen, dass aus $a \equiv a'$ mod $n$ und $b \equiv b'$ mod $n$ folgt, dass $a + b \equiv a' + b'$ mod $n$ und $ab \equiv a'b'$ mod $n$. Die Voraussetzung bedeutet, dass es $k, l \in \mathbb{Z}$ gibt mit $a = a' + kn$ und $b = b' + ln$. Es folgt \[ a + b = a' + kn + b' + ln = a' + b' + (k + l)n \equiv a' + b' \pmod{n} \] und \[ ab = (a' + kn)(b' + ln) = a'b' + a'ln + b'kn + kln^2 \equiv a'b' \pmod{n}. \] Dies zeigt, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Assoziativität und Kommutativität folgen aus den entsprechenden Eigenschaften von $+$ und $\cdot$, z.B. \[ ([a]_n + [b]_n) + [c]_n = [a + b]_n + [c]_n = [(a + b) + c]_n = [a + (b + c)]_n = [a]_n + ([b]_n + [c]_n). \] Das neutrale Element von $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist $[0]_n$, denn \[ [a]_n + [0]_n = [a + 0]_n = [a]_n. \] Zu jedem $[a]_n \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ gilt \[ [a]_n + [-a]_n = [a - a]_n = [0]_n. \] $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist also eine abelsche Gruppe.\\ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ ist im Allgemeinen keine Gruppe, da z.B. für $a = 0$ das Inverse $a^{-1}$ nicht existiert.

Aufgabe 1.9 zu Gruppen

Sei $n \in \mathbb{N}, n > 0$. Für $x, y \in \mathbb{Z}$ schreiben wir \[ x \equiv y \pmod{n} \iff n \text{ teilt } x - y. \]

(a)

Zeigen Sie, dass $\equiv \pmod{n}$ eine Äquivalenzrelation ist.

(b)

Wir betrachten nun die sogenannten Restklassen einer Zahl $k \in \mathbb{Z}$, definiert durch \[ [k]_n = k + n\mathbb{Z} = \{k + nz \mid z \in \mathbb{Z}\}. \] In einer solchen Restklasse liegen also alle Zahlen, die bei Division durch $n$ den gleichen Rest wie $k$ ergeben. Die Menge aller Restklassen schreibt man als $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.\\ Zeigen Sie $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n - 1]\}$.

(c)

Wir definieren Addition und Multiplikation von Restklassen mod $n$ durch \[ [a]_n + [b]_n := [a + b]_n, \] \[ [a]_n \cdot [b]_n := [a \cdot b]_n. \] Zeigen Sie, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind, dass sie assoziativ und kommutativ sind, und dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ eine abelsche Gruppe ist. Zeigen Sie, dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ im Allgemeinen keine Gruppe ist.

Beweis

(a)

i)

$x \equiv x \pmod{n}$ ist klar.

ii)

Seien $x, y \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$, dann gilt auch $y \equiv x \pmod{n}$.

iii)

Seien $x, y, z \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$ und $y \equiv z \pmod{n}$. Das heißt, $n \mid x - y$ und $n \mid y - z$. Dann gilt auch $n \mid ((x - y) + (y - z)) = x - z$, also $x \equiv z \pmod{n}$.

(b)

Die Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$ sind verschieden, weil $i \equiv j$ für $i \neq j$ und $i, j \in \{0, \ldots, n - 1\}$ nicht der Fall ist. Ist $m \in \mathbb{Z}$, so können wir $m$ mit Rest durch $n$ teilen, d.h. es gibt $k, r \in \mathbb{Z}$ mit $0 \leq r < n - 1$ so dass $m = kn + r$. Modulo $n$ gilt $[m]_n = [kn + r]_n = [r]_n$, d.h. $[m]_n$ ist einer der Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$.

(c)

Wir müssen zeigen, dass aus $a \equiv a'$ mod $n$ und $b \equiv b'$ mod $n$ folgt, dass $a + b \equiv a' + b'$ mod $n$ und $ab \equiv a'b'$ mod $n$. Die Voraussetzung bedeutet, dass es $k, l \in \mathbb{Z}$ gibt mit $a = a' + kn$ und $b = b' + ln$. Es folgt \[ a + b = a' + kn + b' + ln = a' + b' + (k + l)n \equiv a' + b' \pmod{n} \] und \[ ab = (a' + kn)(b' + ln) = a'b' + a'ln + b'kn + kln^2 \equiv a'b' \pmod{n}. \] Dies zeigt, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Assoziativität und Kommutativität folgen aus den entsprechenden Eigenschaften von $+$ und $\cdot$, z.B. \[ ([a]_n + [b]_n) + [c]_n = [a + b]_n + [c]_n = [(a + b) + c]_n = [a + (b + c)]_n = [a]_n + ([b]_n + [c]_n). \] Das neutrale Element von $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist $[0]_n$, denn \[ [a]_n + [0]_n = [a + 0]_n = [a]_n. \] Zu jedem $[a]_n \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ gilt \[ [a]_n + [-a]_n = [a - a]_n = [0]_n. \] $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist also eine abelsche Gruppe.\\ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ ist im Allgemeinen keine Gruppe, da z.B. für $a = 0$ das Inverse $a^{-1}$ nicht existiert.

Aufgabe 1.9 zu Gruppen

Sei $n \in \mathbb{N}, n > 0$. Für $x, y \in \mathbb{Z}$ schreiben wir \[ x \equiv y \pmod{n} \iff n \text{ teilt } x - y. \]

(a)

Zeigen Sie, dass $\equiv \pmod{n}$ eine Äquivalenzrelation ist.

(b)

Wir betrachten nun die sogenannten Restklassen einer Zahl $k \in \mathbb{Z}$, definiert durch \[ [k]_n = k + n\mathbb{Z} = \{k + nz \mid z \in \mathbb{Z}\}. \] In einer solchen Restklasse liegen also alle Zahlen, die bei Division durch $n$ den gleichen Rest wie $k$ ergeben. Die Menge aller Restklassen schreibt man als $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.\\ Zeigen Sie $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n - 1]\}$.

(c)

Wir definieren Addition und Multiplikation von Restklassen mod $n$ durch \[ [a]_n + [b]_n := [a + b]_n, \] \[ [a]_n \cdot [b]_n := [a \cdot b]_n. \] Zeigen Sie, dass diese Verknüpfungen wohldefiniert sind, dass sie assoziativ und kommutativ sind, und dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ eine abelsche Gruppe ist. Zeigen Sie, dass $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ im Allgemeinen keine Gruppe ist.

Beweis

(a)

i)

$x \equiv x \pmod{n}$ ist klar.

ii)

Seien $x, y \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$, dann gilt auch $y \equiv x \pmod{n}$.

iii)

Seien $x, y, z \in \mathbb{Z}$ mit $x \equiv y \pmod{n}$ und $y \equiv z \pmod{n}$. Das heißt, $n \mid x - y$ und $n \mid y - z$. Dann gilt auch $n \mid ((x - y) + (y - z)) = x - z$, also $x \equiv z \pmod{n}$.

(b)

Die Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$ sind verschieden, weil $i \equiv j$ für $i \neq j$ und $i, j \in \{0, \ldots, n - 1\}$ nicht der Fall ist. Ist $m \in \mathbb{Z}$, so können wir $m$ mit Rest durch $n$ teilen, d.h. es gibt $k, r \in \mathbb{Z}$ mit $0 \leq r < n - 1$ so dass $m = kn + r$. Modulo $n$ gilt $[m]_n = [kn + r]_n = [r]_n$, d.h. $[m]_n$ ist einer der Klassen $[0]_n, \ldots, [n - 1]_n$.

(c)

Wir müssen zeigen, dass aus $a \equiv a'$ mod $n$ und $b \equiv b'$ mod $n$ folgt, dass $a + b \equiv a' + b'$ mod $n$ und $ab \equiv a'b'$ mod $n$. Die Voraussetzung bedeutet, dass es $k, l \in \mathbb{Z}$ gibt mit $a = a' + kn$ und $b = b' + ln$. Es folgt \[ a + b = a' + kn + b' + ln = a' + b' + (k + l)n \equiv a' + b' \pmod{n} \] und \[ ab = (a' + kn)(b' + ln) = a'b' + a'ln + b'kn + kln^2 \equiv a'b' \pmod{n}. \] Dies zeigt, dass Addition und Multiplikation wohldefiniert sind. Assoziativität und Kommutativität folgen aus den entsprechenden Eigenschaften von $+$ und $\cdot$, z.B. \[ ([a]_n + [b]_n) + [c]_n = [a + b]_n + [c]_n = [(a + b) + c]_n = [a + (b + c)]_n = [a]_n + ([b]_n + [c]_n). \] Das neutrale Element von $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist $[0]_n$, denn \[ [a]_n + [0]_n = [a + 0]_n = [a]_n. \] Zu jedem $[a]_n \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ gilt \[ [a]_n + [-a]_n = [a - a]_n = [0]_n. \] $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$ ist also eine abelsche Gruppe.\\ $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, \cdot)$ ist im Allgemeinen keine Gruppe, da z.B. für $a = 0$ das Inverse $a^{-1}$ nicht existiert.