Körper

K1

$(K, +)$ ist eine abelsche Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit $0$ bezeichnet.

K2

$(K^\times, \cdot)$ ist eine abelsche Gruppe, wobei $K^\times = K \setminus \{0\}$. Ihr neutrales Element wird mit $1$ bezeichnet. Insbesondere ist für $a, b \in K^\times$ auch $a \cdot b \in K^\times$.

K3

Es gelten die Distributivgesetze: $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ und $(b + c) \cdot a = (b \cdot a) + (c \cdot a)$ für alle $a, b, c \in K$.

a)

Für $a \cdot b$ schreibt man häufig $ab$.

b)

Man vereinbart üblicherweise, dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Damit ist $a \cdot (b + c) = ab + ac$.

i)

$0 \cdot a = a \cdot 0 = 0$ für alle $a \in K$.

ii)

Sind $a, b \in K$ und $a \cdot b = 0$, so folgt $a = 0$ oder $b = 0$.

iii)

Für alle $a, b \in K$ gilt $a \cdot (-b) = (-(a)) \cdot b = -(a \cdot b)$.

iv)

Für alle $a, b \in K$ gilt $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.

1)

$(\mathbb{Q}, +, \cdot)$, der Körper der rationalen Zahlen.

2)

$(\mathbb{R}, +, \cdot)$, der Körper der reellen Zahlen.

3)

Sei $M = \{g, u\}$ eine zweielementige Menge. Definiere

Dann ist $(M, \oplus, \odot)$ ein Körper.

4)

Für ein $n \in \mathbb{N}$ definieren wir eine Multiplikation auf $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ durch $[a]_n \cdot [b]_n = [a \cdot b]_n$. Es gilt dann

$ (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \cdot) \text{ ist ein Körper} \iff n \text{ ist eine Primzahl}. $

Für eine Primzahl $p$ wird der Körper $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ mit $\mathbb{F}_p$ bezeichnet.