Aufgabe 1.16

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: Wenn $U_{1}$ und $U_{2}$ Untervektorräume eines Vektorraums $V$ sind, ist auch $U_{1} \cup U_{2}$ ein Untervektorraum.

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: Zwei Untervektorräume desselben Vektorraums können disjunkt sein.

Im Vektorraum $R^{2}$ gelte für paarweise verschiedene Vektoren $a, b, c, d$ , dass $Lin (a, b) = Lin (c, d)$ . Welche der folgenden Behauptungen sind unter dieser Voraussetzung richtig?

(a)	Das Tupel $(a, b, c, d)$ muss linear abhängig sein.
(b)	$a$ und $b$ müssen linear unabhängig sein.
(c)	$a$ muss weder von $c$ noch von $d$ linear abhängig sein.
(d)	Es gilt stets $Lin (a, c) = Lin (b, d)$ .

Welche der folgenden Behauptungen ist stets in jedem Vektorraum richtig?

(a)	$Lin (v_{1}, v_{2}) = Lin (v_{2}, v_{1})$ .
(b)	$Lin (v_{1}, v_{2}, v_{1} + v_{2}) = Lin (v_{1}, v_{2})$ .
(c)	$Lin (v_{1}, v_{2}, v_{1} + v_{2}) = Lin (v_{1} + v_{2})$ .

Aufgabe 1.16

Beweis