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Aufgabe 1.16

1)

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: Wenn $U_1$ und $U_2$ Untervektorräume eines Vektorraums $V$ sind, ist auch $U_1 \cup U_2$ ein Untervektorraum.

2)

Entscheiden Sie, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: Zwei Untervektorräume desselben Vektorraums können disjunkt sein.

3)

Im Vektorraum $\mathbb{R}^2$ gelte für paarweise verschiedene Vektoren $a, b, c, d$, dass $\text{Lin}(a, b) = \text{Lin}(c, d)$. Welche der folgenden Behauptungen sind unter dieser Voraussetzung richtig?

(a)

Das Tupel $(a, b, c, d)$ muss linear abhängig sein.

(b)

$a$ und $b$ müssen linear unabhängig sein.

(c)

$a$ muss weder von $c$ noch von $d$ linear abhängig sein.

(d)

Es gilt stets $\text{Lin}(a, c) = \text{Lin}(b, d)$.

4)

Welche der folgenden Behauptungen ist stets in jedem Vektorraum richtig?

(a)

$\text{Lin}(v_1, v_2) = \text{Lin}(v_2, v_1)$.

(b)

$\text{Lin}(v_1, v_2, v_1 + v_2) = \text{Lin}(v_1, v_2)$.

(c)

$\text{Lin}(v_1, v_2, v_1 + v_2) = \text{Lin}(v_1 + v_2)$.

Beweis