Beispiel 1.5 zu Gruppen

1.

$(\mathbb{Z}, +)$, die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition.\\ Das neutrale Element ist $e=0$,\\ Das inverse Element zu $n \in \mathbb{Z}$ ist $-n \in \mathbb{Z}$.\\ Dies gilt auch für $(\mathbb{Q}, +)$ und $(\mathbb{R}, +)$.

2.

$(\mathbb{R}^\times, \cdot)$, wobei $\mathbb{R}^\times = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.\\ Das neutrale Element ist $e=1$,\\ Das inverse Element zu $a \in \mathbb{R}$ ist $\frac{1}{a} \in \mathbb{R}$.\\ Dies gilt auch für $(\mathbb{Q}^\times, \cdot)$ und $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$.

3.

$(\{\pm 1\}, \cdot)$ ist eine Gruppe mit 2 Elementen. Die Gruppentafel lautet \begin{align*} \begin{array}{c|cc} \cdot & +1 & -1 \\ \hline +1 & +1 & -1 \\ -1 & -1 & +1 \\ \end{array} \end{align*}

4.

Hier betrachten wie für eine natürliche Zahl $n$ die Menge $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ der Äquivalenzklassen von $\mathbb{Z}$ bezüglich der Äquivalenzrelation Kongruenz modulo $n$, aus Kapitel 1.7.3.\\ Wir definieren eine innere Verknüpfung auf $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ durch \begin{align*} \left[ a \right] _n + \left[ b \right]_n := \left[ a + b \right] _n. \end{align*} Dabei sind $a, b \in \mathbb{Z}$ Repräsentanten der entsprechenden Äquivalenzklassen. Wir nennen $[a + b]_n$ auch die \textit{Summe der Äquivalenzklassen} $[a]_n$ und $[b]_n$. Die Definition dieser Summe ist unabhängig von der Wahl der Repräsentanten und damit wohldefiniert. Denn sind $a' \in [a]_n$ und $b' \in [b]_n$ andere Repräsentanten, so gilt $$ [a' + b']_n = [a + b]_n. $$Die Menge $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ wird mit dieser Summe von Äquivalenzklassen zu einer abelschen Gruppe.

5.

Sei $M$ eine Menge. Definiere $$ S(M) = \{ f : M \to M \mid f \text{ist bijektiv} \}, $$ die Menge der bijektiven Abbildungen von $M$ nach $M$, und $$ \circ : S(M) \times S(M) \to S(M), \quad (f, g) \mapsto f \circ g, $$ die Komposition von Abbildungen. Damit ist $\left( S(M), \circ \right)$ eine Gruppe.\\ Neutrales Element ist die Identitätsabbildung, $\text{id}_M : M \to M, \, m \mapsto m$.\\ Inverses Element zu $f$ ist $f^{-1}$, die Umkehrabbildung zu $f$.