Bemerkung 1 zu Kern und Bild
Für eine lineare Abbildung $f : V \to W$ ist $\text{Bild}(f)$ ein Unterraum von $W$ und $\text{Kern}(f)$ ein Unterraum von $V$.
Beweis
$\text{Bild}(f)$ ist ein Unterraum:
Es gilt $0 = f(0) \in \text{Bild}(f)$.
Seien $y_1 = f(x_1)$ und $y_2 = f(x_2)$ in $\text{Bild}(f)$, wobei $x_1, x_2 \in V$. Dann ist
\[
y_1 + y_2 = f(x_1) + f(x_2) = f(x_1 + x_2) \in \text{Bild}(f).
\]
Sei $\lambda \in K$ und $y = f(x) \in \text{Bild}(f)$. Dann ist
\[
\lambda y = \lambda f(x) = f(\lambda x) \in \text{Bild}(f).
\]
Wir haben gezeigt, dass $\text{Bild}(f)$ die $0$ enthält und abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation ist. Damit ist $\text{Bild}(f)$ ein Untervektorraum. Die Behauptung für $\text{Kern}(f)$ wird in der Übung gezeigt. $\square$