Bemerkung 1 zu Lineare Abbildung

Sei $V$ ein endlich erzeugter $K$-Vektorraum und $b_1, \ldots, b_n$ eine Basis von $V$. Dann lässt sich jedes $v \in V$ in eindeutiger Weise als

v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i

mit $\lambda_i = \lambda_i(v) \in K$ darstellen.

Beweis

Dass es eine Darstellung gibt, folgt aus der Tatsache, dass eine Basis ein Erzeugendensystem ist. Sei

v = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i,

mit $\mu_i \in K$, eine zweite Darstellung. Es folgt

0 = \sum_{i=1}^n (\lambda_i - \mu_i) b_i.

Da die Basisvektoren $b_1, \ldots, b_n$ linear unabhängig sind, gilt

\lambda_i = \mu_i

für alle $i = 1, \ldots, n$. Damit ist die Darstellung eindeutig. $\square$