Bemerkung 1 zu Lineare Abbildung

Sei $V$ ein endlich erzeugter $K$ -Vektorraum und $b_{1}, \dots, b_{n}$ eine Basis von $V$ . Dann lässt sich jedes $v \in V$ in eindeutiger Weise als

v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i

mit $λ_{i} = λ_{i} (v) \in K$ darstellen.

Beweis

Dass es eine Darstellung gibt, folgt aus der Tatsache, dass eine Basis ein Erzeugendensystem ist. Sei

v = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i,

mit $μ_{i} \in K$ , eine zweite Darstellung. Es folgt

0 = \sum_{i=1}^n (\lambda_i - \mu_i) b_i.

Da die Basisvektoren $b_{1}, \dots, b_{n}$ linear unabhängig sind, gilt

\lambda_i = \mu_i

für alle $i = 1, \dots, n$ . Damit ist die Darstellung eindeutig. $◻$