Bemerkung 1 zu Lineare Abbildung

Sei V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und b1,,bn eine Basis von V. Dann lässt sich jedes vV in eindeutiger Weise als

\[

v = \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i

\]

mit λi=λi(v)K darstellen.

Beweis

Dass es eine Darstellung gibt, folgt aus der Tatsache, dass eine Basis ein Erzeugendensystem ist. Sei

\[

v = \sum_{i=1}^n \mu_i b_i,

\]

mit μiK, eine zweite Darstellung. Es folgt

\[

0 = \sum_{i=1}^n (\lambda_i - \mu_i) b_i.

\]

Da die Basisvektoren b1,,bn linear unabhängig sind, gilt

\[

\lambda_i = \mu_i

\]

für alle i=1,,n. Damit ist die Darstellung eindeutig.