Definition

Ist $ f : D \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ eine Funktion, so heißt \( x_0 \in D \) lokales Maximum (Minimum) von \( f \), falls ein \( \delta > 0 \) existiert mit

\[

f(x) \leq f(x_0) \, (f(x) \geq f(x_0)), \quad \text{für alle } x \in D \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta).

\]

Lokale Maxima oder Minima heißen auch lokale Extrema einer gegebenen Funktion \( f \); im Folgenden bestimmen wir Kriterien, welche es erlauben eine gegebene Funktion nach lokalen Extremwerten zu untersuchen. Wir beginnen zunächst mit einem notwendigen Kriterium für Extremwerte.

Beweis