Definition 1.15: Vektorraum

Sei $K$ ein Körper. Ein \textit{Vektorraum} über $K$ (auch $K$-Vektorraum) ist ein Tripel $(V, +, \cdot)$ bestehend aus einer Menge $V$ und zwei Abbildungen

$ +: V \times V \to V, \quad (a, b) \mapsto a + b, $

$ \cdot : K \times V \to V, \quad (\lambda, a) \mapsto \lambda \cdot a, $

so dass:

V1	$(V, +)$ ist eine abelsche Gruppe.
V2	Für die Multiplikation mit Skalaren gilt:

a)	$(\lambda + \mu) \cdot a = \lambda \cdot a + \mu \cdot a,$
b)	$\lambda \cdot (a + b) = \lambda \cdot a + \lambda \cdot b,$
c)	$(\lambda \mu) \cdot a = \lambda \cdot (\mu \cdot a),$
d)	$1 \cdot a = a,$

wobei $\lambda, \mu \in K$ und $a, b \in V$.

Das neutrale Element von $(V, +)$ heißt \textit{Nullvektor}, man bezeichnet es mit $0$ oder $0_V$.