Definition Gruppe

Eine Gruppe ist ein Paar $(G, \circ)$ bestehend aus einer Menge $G$ und einer inneren Verknüpfung $\circ: G \times G \to G$, $(a, b) \mapsto a \circ b$, mit den Eigenschaften

G1	Assoziativgesetz: $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ für alle $a, b, c \in G$.
G2	Neutrales Element: Es gibt ein $e \in G$ so dass $e \circ a = a$ für alle $a \in G$ gilt.
G3	Inverses Element: Für alle $a \in G$ existiert ein $a' \in G$ mit $a' \circ a = e$.

Falls zusätzlich das Kommutativgesetz, $$ a \circ b = b \circ a \quad \text{für alle } a, b \in G, $$ gilt, so heißt die Gruppe abelsch.