Satz Dimensionsformel
Seien $V$ und $W$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume und $f : V \to W$ eine lineare Abbildung. Es gilt
\[
\dim(V) = \dim(\text{Kern}(f)) + \dim(\text{Bild}(f)).
\]
Beweis
Sei $m = \dim(\text{Kern}(f))$ und $e_1, \ldots, e_m$ eine Basis von $\text{Kern}(f)$. Wir ergänzen diese zu einer Basis $e_1, \ldots, e_m, e_{m+1}, \ldots, e_n$ von $V$, wobei $n = \dim(V) \geq m$. Es gilt
\[
\text{Lin}(f(e_{m+1}), \ldots, f(e_n)) = \text{Bild}(f).
\]
Wegen $f(e_i) = \ldots = f(e_m) = 0$ gilt sogar
\[
\text{Lin}(f(e_1), \ldots, f(e_n)) = \text{Bild}(f).
\]
Behauptung: Die Vektoren $f(e_{m+1}), \ldots, f(e_n)$ sind linear unabhängig. Sei dazu
\[
\lambda_{m+1} f(e_{m+1}) + \ldots + \lambda_n f(e_n) = 0,
\]
wobei $\lambda_{m+1}, \ldots, \lambda_n \in K$. Da $f$ linear ist, folgt
\[
f(\lambda_{m+1} e_{m+1} + \ldots + \lambda_n e_n) = 0.
\]
Dies bedeutet, dass
\[
v = \lambda_{m+1} e_{m+1} + \ldots + \lambda_n e_n \in \text{Kern}(f).
\]
Da $e_1, \ldots, e_m$ eine Basis von $\text{Kern}(f)$ ist, gibt es $\lambda_1, \ldots, \lambda_m \in K$ mit
\[
-v = \lambda_1 e_1 + \ldots + \lambda_m e_m.
\]
Es folgt
\[
\lambda_1 e_1 + \ldots + \lambda_n e_n = 0.
\]
Da die Vektoren $e_1, \ldots, e_n$ linear unabhängig sind, gilt
\[
\lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0.
\]
Die Vektoren $f(e_{m+1}), \ldots, f(e_n)$ sind daher linear unabhängig. Da sie $\text{Bild}(f)$ erzeugen, bilden sie eine Basis von $\text{Bild}(f)$. Es gilt daher
\[
\dim(\text{Bild}(f)) = n - m,
\]
woraus folgt
\[
\dim(\text{Kern}(f)) + \dim(\text{Bild}(f)) = m + (n - m) = n = \dim(V).
\]
$\square$