Satz 1 zu Lineare Abbildungen
Seien $V$ und $W$ $K$-Vektorräume. Sei $b_1, \ldots, b_n$ eine Basis von $V$ und $w_1, \ldots, w_n$ beliebige Vektoren in $W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung
\[
f : V \to W
\]
mit
\[
f(b_i) = w_i
\]
für alle $i = 1, \ldots, n.$
Beweis
Wir definieren $f$ durch lineare Fortsetzung der Bedingung $f(b_i) = w_i$ für $i = 1, \ldots, n$. Ist $v = \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot b_i \in V$, so setzen wir
\[
f(v) = f \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i b_i \right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i f(b_i) = \sum_{i=1}^n \lambda_i w_i.
\]
Wegen Bemerkung 1 zu Lineare Abbildungen ist die Abbildung $f$ wohldefiniert. Wie man leicht nachprüft, ist $f$ linear. Aufgrund von $f(b_i) = w_i$ für alle $i = 1, \ldots, n$ und der Linearität ist $f$ eindeutig bestimmt. $\square$