Lineare Algebra

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Bemerkung 2 zu Gruppen

Sei $(G, \circ)$ eine Gruppe und $a, b \in G$. Es gilt:

i)	$(a^{-1})^{-1} = a$,
ii)	$(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}$.

Beweis

i)	Nach Bemerkung 1 zu Gruppen iv) existiert zu $a^{-1}$ genau ein inverses Element. Da $a \circ a^{-1} = e$, ist $a$ das eindeutige inverse Element zu $a^{-1}$. Es folgt $(a^{-1})^{-1} = a$.
ii)	Seien $a, b \in G$ Elemente der Gruppe $(G, \circ)$. Es wird gezeigt, dass das inverse Element von $a \circ b$ aus $b^{-1} \circ a^{-1}$ besteht, indem gezeigt wird, dass die Verknüpfung der beiden Elemente das neutrale Element $e$ ergibt.

\begin{aligned}
(a \circ b) \circ (b^{-1} \circ a^{-1}) &= a \circ (b \circ b^{-1} ) \circ a^{-1} \\
&= a \circ e \circ a^{-1} \\
&= a \circ a^{-1} \\
&= e
\end{aligned}

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