Bemerkung 1 zu Gruppen

Sei $(G, \circ)$ eine Gruppe. Es gilt:

i)	Ist $a'$ invers zu $a \in G$, dann gilt $a \circ a' = e$. Das heißt wenn das inverse Element $a'$ von $a$ von rechts durch die Verknüpfung $\circ$ mit dem Element $a$ verknüpft wird, so ergibt dies ebenfalls das neutrale Element $e$. In G3 wird lediglich die Existenz eines inversen Elements $a'$ beschrieben, welches durch die Verknüpfung $\circ$ von links mit dem Element $a$ das neutrale Element ergibt. Hier wird also beschrieben, dass die Reihenfolge der beiden Elemente $a$ und $a'$ bei deren Verknüpfung keine Rolle spielt und $a \circ a' = a' \circ a=e$ gilt.
ii)	Sei $e \in G$ ein neutrales Element. Dann gilt $a \circ e = a$ für alle $a \in G$. Das heißt wenn das neutrale Element $e \in G$ von rechts durch die Verknüpfung $\circ$ mit dem Element $a$ verknüpft wird, so ergibt dies ebenfalls das Element $a$. In G2 wird lediglich die Existenz eines neutralen Elements $e$ beschrieben, welches durch die Verknüpfung $\circ$ von links mit dem Element $a$ wieder das Element $a$ ergibt. Hier wird also beschrieben, dass die Reihenfolge bei der Verknüpfung eines Elements $a$ mit dem neutralen Element $e$ keine Rolle spielt und $a \circ e = e \circ a=a$ gilt.
iii)	Es gibt genau ein neutrales Element $e \in G$.
iv)	Zu jedem Element gibt es genau ein inverses Element $a'$, welches man auch mit $a^{-1}$ bezeichnet. Hier wird die Eindeutigkeit des inversen Element beschrieben.

Beweis

i)	Zu $a' \in G$ existiert nach der Definition von Gruppen G3 ein inverses Element $ (a')'=a'' \in G$ mit $a'' \circ a' = e$. Es folgt \begin{align} a \circ a' &= e \circ (a \circ a') \\ &\text{hier wird das neutrale Element} \ e \ \text{durch} \ a'' \circ a' \ \text{ersetzt} \\ &= (a'' \circ a') \circ (a \circ a') \\ & \text{nach G1 spielt es keine Rolle welche Elemente zuerst verknüpft werden} \\ &\overset{\text{G1}}{=} a'' \circ ((a' \circ a) \circ a') \\ & \text{Da} \ a' \circ a \ \text{das neutrale Element} \ e \text{ergibt, kann dies ersetzt werden} \\ &\overset{\text{G3}}{=} a'' \circ (e \circ a') \\ & \text{Die Verknüpfung mit dem neutralen Element} \ e \ \text{verändert das Element} \ a' \ \text{nicht} \\ &\overset{\text{G2}}{=} a'' \circ a' \\ & \text{da} \ a'' \ \text{das inverse Element zu} \ a' \ \text{ist, ergibt dies das neutrale Element} \ e \\ &= e. \end{align}
ii)	Es gilt \begin{align} a \circ e &\overset{\text{G3}}{=} a \circ (a' \circ a) \\ & \text{das neutrale Element} \ e \ \text{ wird durch} \ a' \circ a \ \text{ersetzt} \\ &\overset{\text{G1}}{=} (a \circ a') \circ a \\ & \text{nach G1 spielt es keine Rolle welche Elemente zuerst verknüpft werden} \\ &\overset{(i)}{=} e \circ a \\ & \text{wegen i) kann wegen} \ a \circ a' = e \ \text{der Term} \ a \circ a' \ \text{durch} e \ \text{ersetzt werden} \\ &\overset{\text{G2}}{=} a. \end{align}
iii)	Sei $e'$ ein weiteres neutrales Element neben dem neutralen Element $e$, welches in G2 beschrieben wird. Es wird nun gezeigt, dass dieses weitere neutrale Element $e'$ das selbe sein muss, wie das neutrale Element $e$. Verknüpft man das weitere neutrale Element $e'$ mit dem neutralen Element $e$ so folgt: \begin{align} e' &\overset{\text{G2}}{=} e' \circ e \\ & \overset{(ii)}{=} e \end{align} da die Verknüpfung mit einem neutralen Element nach i) das Element mit dem dieses Verknüpft wird nicht verändert (auch wenn das Element mit dem es verknüpft wird, das neutrale Element ist).
iv)	Sei $a'$ das inverse Element zu $a$ nach G3. Das heißt es gilt $a' \circ a = a \circ a'=e$. Sei $a^{}$ ein weiteres inverses Element zu $a$. Das heißt es gilt $a^{} \circ a = a \circ a^{}=e$. Nun wird gezeigt, dass $a'=a^{}$ gilt. \begin{align} a' &=a' \circ e \\ & \text{da} \ a^{} \ \text{ein inverses Element zu} \ a \ \text{ist, kann} \ e \ \text{durch} \ a \circ a^{} \ \text{ersetzt werden} \\ &= a' \circ ( a \circ a^{}) \\ &= (a' \circ a ) \circ a^{} \\ &= e \circ a^{} \\ &= a^{} \end{align}