Gruppen

G1

Assoziativgesetz: $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ für alle $a, b, c \in G$.

G2

Neutrales Element: Es gibt ein $e \in G$ so dass $e \circ a = a$ für alle $a \in G$ gilt.

G3

Inverses Element: Für alle $a \in G$ existiert ein $a' \in G$ mit $a' \circ a = e$.

i)

Ist $a'$ invers zu $a \in G$, dann gilt $a \circ a' = e$. Das heißt wenn das inverse Element $a'$ von $a$ von rechts durch die Verknüpfung $\circ$ mit dem Element $a$ verknüpft wird, so ergibt dies ebenfalls das neutrale Element $e$. In G3 wird lediglich die Existenz eines inversen Elements $a'$ beschrieben, welches durch die Verknüpfung $\circ$ von links mit dem Element $a$ das neutrale Element ergibt. Hier wird also beschrieben, dass die Reihenfolge der beiden Elemente $a$ und $a'$ bei deren Verknüpfung keine Rolle spielt und $a \circ a' = a' \circ a=e$ gilt.

ii)

Sei $e \in G$ ein neutrales Element. Dann gilt $a \circ e = a$ für alle $a \in G$. Das heißt wenn das neutrale Element $e \in G$ von rechts durch die Verknüpfung $\circ$ mit dem Element $a$ verknüpft wird, so ergibt dies ebenfalls das Element $a$. In G2 wird lediglich die Existenz eines neutralen Elements $e$ beschrieben, welches durch die Verknüpfung $\circ$ von links mit dem Element $a$ wieder das Element $a$ ergibt. Hier wird also beschrieben, dass die Reihenfolge bei der Verknüpfung eines Elements $a$ mit dem neutralen Element $e$ keine Rolle spielt und $a \circ e = e \circ a=a$ gilt.

iii)

Es gibt genau ein neutrales Element $e \in G$.

iv)

Zu jedem Element gibt es genau ein inverses Element $a'$, welches man auch mit $a^{-1}$ bezeichnet. Hier wird die Eindeutigkeit des inversen Element beschrieben.

i)

$(a^{-1})^{-1} = a$,

ii)

$(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}$.

1.

$(\mathbb{Z}, +)$, die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition.\\ Das neutrale Element ist $e=0$,\\ Das inverse Element zu $n \in \mathbb{Z}$ ist $-n \in \mathbb{Z}$.\\ Dies gilt auch für $(\mathbb{Q}, +)$ und $(\mathbb{R}, +)$.

2.

$(\mathbb{R}^\times, \cdot)$, wobei $\mathbb{R}^\times = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.\\ Das neutrale Element ist $e=1$,\\ Das inverse Element zu $a \in \mathbb{R}$ ist $\frac{1}{a} \in \mathbb{R}$.\\ Dies gilt auch für $(\mathbb{Q}^\times, \cdot)$ und $(\mathbb{R}_{>0}, \cdot)$.

3.

$(\{\pm 1\}, \cdot)$ ist eine Gruppe mit 2 Elementen. Die Gruppentafel lautet \begin{align*} \begin{array}{c|cc} \cdot & +1 & -1 \\ \hline +1 & +1 & -1 \\ -1 & -1 & +1 \\ \end{array} \end{align*}

4.

Hier betrachten wie für eine natürliche Zahl $n$ die Menge $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ der Äquivalenzklassen von $\mathbb{Z}$ bezüglich der Äquivalenzrelation Kongruenz modulo $n$, aus Kapitel 1.7.3.\\ Wir definieren eine innere Verknüpfung auf $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ durch \begin{align*} \left[ a \right] _n + \left[ b \right]_n := \left[ a + b \right] _n. \end{align*} Dabei sind $a, b \in \mathbb{Z}$ Repräsentanten der entsprechenden Äquivalenzklassen. Wir nennen $[a + b]_n$ auch die \textit{Summe der Äquivalenzklassen} $[a]_n$ und $[b]_n$. Die Definition dieser Summe ist unabhängig von der Wahl der Repräsentanten und damit wohldefiniert. Denn sind $a' \in [a]_n$ und $b' \in [b]_n$ andere Repräsentanten, so gilt $$ [a' + b']_n = [a + b]_n. $$Die Menge $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ wird mit dieser Summe von Äquivalenzklassen zu einer abelschen Gruppe.

5.

Sei $M$ eine Menge. Definiere $$ S(M) = \{ f : M \to M \mid f \text{ist bijektiv} \}, $$ die Menge der bijektiven Abbildungen von $M$ nach $M$, und $$ \circ : S(M) \times S(M) \to S(M), \quad (f, g) \mapsto f \circ g, $$ die Komposition von Abbildungen. Damit ist $\left( S(M), \circ \right)$ eine Gruppe.\\ Neutrales Element ist die Identitätsabbildung, $\text{id}_M : M \to M, \, m \mapsto m$.\\ Inverses Element zu $f$ ist $f^{-1}$, die Umkehrabbildung zu $f$.

1.

$e \in U$ (Neutrales Element von $G$ in $U$)

2.

$a,b \in U \Rightarrow a \circ b \in U$(Abgeschlossenheit)

3.

$a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U$ (Inverses)